Estimation and Processing of Ensemble Average Propagator and Its Features in Diffusion MRI
Résumé
Diffusion MRI (dMRI) is the unique technique to infer the microstructure of the white matter in vivo and noninvasively, by modeling the diffusion of water molecules. Ensemble Average Propagator (EAP) and Orientation Distribution Function (ODF) are two important Probability Density Functions (PDFs) which reflect the water diffusion. Estimation and processing of EAP and ODF is the central problem in dMRI, and is also the first step for tractography. Diffusion Tensor Imaging (DTI) is the most widely used estimation method which assumes EAP as a Gaussian distribution parameterized by a tensor. Riemannian framework for tensors has been proposed successfully in tensor estimation and processing. However, since the Gaussian EAP assumption is oversimplified, DTI can not reflect complex microstructure like fiber crossing. High Angular Resolution Diffusion Imaging (HARDI) is a category of methods proposed to avoid the limitations of DTI. Most HARDI methods like Q-Ball Imaging (QBI) need some assumptions and only can handle the data from single shell (single $b$ value), which are called as single shell HARDI (sHARDI) methods. However, with the development of scanners and acquisition methods, multiple shell data becomes more and more practical and popular. This thesis focuses on the estimation and processing methods in multiple shell HARDI (mHARDI) which can handle the diffusion data from arbitrary sampling scheme. There are many original contributions in this thesis. -First, we develop the analytical Spherical Polar Fourier Imaging (SPFI), which represents the signal using SPF basis and obtains EAP and its various features including ODFs and some scalar indices like Generalized Fractional Anisotropy (GFA) from analytical linear transforms. In the implementation of SPFI, we present two ways for scale estimation and propose to consider the prior $E(0)=1$ in estimation process. -Second, a novel Analytical Fourier Transform in Spherical Coordinate (AFT-SC) framework is proposed to incorporate many sHARDI and mHARDI methods, explore their relation and devise new analytical EAP/ODF estimation methods. -Third, we present some important criteria to compare different HARDI methods and illustrate their advantages and limitations. -Fourth, we propose a novel diffeomorphism invariant Riemannian framework for ODF and EAP processing, which is a natural generalization of previous Riemannian framework for tensors, and can be used for general PDF computing by representing the square root of the PDF called wavefunction with orthonormal basis. In this Riemannian framework, the exponential map, logarithmic map and geodesic have closed forms, the weighted Riemannian mean and median uniquely exist and can be estimated from an efficient gradient descent. Log-Euclidean framework and Affine-Euclidean framework are developed for fast data processing. -Fifth, we theoretically and experimentally compare the Euclidean metric and Riemannian metric for tensors, ODFs and EAPs. -Finally, we propose the Geodesic Anisotropy (GA) to measure the anisotropy of EAPs, Square Root Parameterized Estimation (SRPE) for nonnegative definite ODF/EAP estimation, weighted Riemannian mean/median for ODF/EAP interpolation, smoothing, atlas estimation. The concept of \emph{reasonable mean value interpolation} is presented for interpolation of general PDF data.
L'IRM de diffusion est a ce jour la seule technique a meme d'observer in vivo et de fac¸on non-invasive les structures fines de la mati'ere blanche, en modelisant la diffusion des molecules d'eau. Le propagateur moyen (EAP pour Ensemble average Propagator en anglais) et la fonction de distribution d'orientation (ODF pour Orientation Distribution Function en anglais) sont les deux fonctions de probabilites d'int'erˆet pour caracteriser la diffusion des molecules d'eau. Le probleme central en IRM de diffusion est la reconstruction et le traitement de ces fonctions (EAP et ODF); c'est aussi le point de depart pour la tractographie des fibres de la mati'ere blanche. Le formalisme du tenseur de diffusion (DTI pour Diffusion Tensor Imaging en anglais) est le modele le plus couramment utilise, et se base sur une hypothese de diffusion gaussienne. Il existe un cadre riemannien qui permet d'estimer et de traiter correctement les images de tenseur de diffusion. Cependant, l'hypothese d'une diffusion gaussienne est une simplification, qui ne permet pas de d'écrire les cas ou la structure microscopique sous-jacente est complexe, tels que les croisements de faisceaux de fibres. L'imagerie 'a haute resolution angulaire (HARDI pour High Angular Resolution Diffusion Imaging en anglais) est un ensemble de methodes qui permettent de contourner les limites du modele tensoriel. La plupart des m'ethodes HARDI 'a ce jour, telles que l'imagerie spherique de l'espace de Fourier (QBI pour Q-Ball Imaging en anglais) se basent sur des hypoth'eses reductrices, et prennent en compte des acquisitions qui ne se font que sur une seule sphere dans l'espace de Fourier (sHARDI pour single-shell HARDI en anglais), c'est-a-dire une seule valeur du coefficient de ponderation b. Cependant, avec le developpement des scanners IRM et des techniques d'acquisition, il devient plus facile d'acquerir des donn'ees sur plusieurs sph'eres concentriques. Cette th'ese porte sur les methodes d'estimation et de traitement de donnees sur plusieurs spheres (mHARDI pour multiple-shell HARDI en anglais), et de facon generale sur les methodes de reconstruction independantes du schema d'echantillonnage. Cette these presente plusieurs contributions originales. En premier lieu, nous developpons l'imagerie par transformee de Fourier en coordonnees spheriques (SPFI pour Spherical Polar Fourier Imaging en anglais), qui se base sur une representation du signal dans une base de fonctions a parties radiale et angulaire separables (SPF basis pour Spherical Polar Fourier en anglais). Nous obtenons, de fac¸on analytique et par transformations lineaires, l'EAP ainsi que ses caracteristiques importantes : l'ODF, et des indices scalaires tels que l'anisotropie fractionnelle generalisee (GFA pour Generalized Fractional Anisotropy en anglais). En ce qui concerne l'implementation de SPFI, nous presentons deux methodes pour determiner le facteur d'echelle, et nous prenons en compte le fait que E(0) = 1 dans l'estimation. En second lieu, nous presentons un nouveau cadre pour une transformee de Fourier analytique en coordonnees spheriques (AFT-SC pour Analytical Fourier Transform in Spherical Coordinate en anglais), ce qui permet de considerer aussi bien les methodes mHARDI que sHARDI, d'explorer les relations entre ces methodes, et de developper de nouvelles techniques d'estimation de l'EAP et de l'ODF. Nous presentons en troisieme lieu d'importants crit'eres de comparaison des differentes methodes HARDI, ce qui permet de mettre en lumiere leurs avantages et leurs limites. Dans une quatrieme partie, nous proposons un nouveau cadre riemannien invariant par diffeomorphisme pour le traitement de l'EAP et de l'ODF. Ce cadre est une generalisation de la m'ethode riemannienne precedemment appliquee au tenseur de diffusion. Il peut etre utilise pour l'estimation d'une fonction de probabilite representee par sa racine carree, appelee fonction d'onde, dans une base de fonctions orthonormale. Dans ce cadre riemannien, les applications exponentielle et logarithmique, ainsi que les geodesiques ont une forme analytique. La moyenne riemannienne ponderee ainsi que la mediane existent et sont uniques, et peuvent etre calculees de facon efficace par descente de gradient. Nous developpons egalement un cadre log-euclidien et un cadre affine-euclidien pour un traitement rapide des donnees. En cinquieme partie, nous comparons, theoriquement et sur un plan exp'erimental, les metriques euclidiennes et riemanniennes pour les tenseurs, l'ODF et l'EAP. Finalement, nous proposons l'anisotropie geodesique (GA pour Geodesic Anisotropy en anglais) pour mesurer l'anisotropie de l'EAP; une parametrisation par la racine carrée (SRPE pour Square-Root Parameterized Estimation en anglais) pour l'estimation d'un EAP et d'une ODF positifs; la mediane et la moyenne riemanniennes ponderees pour l'interpolation, le lissage et la construction d'atlas bas'es sur l'ODF et de l'EAP. Nous introduisons la notion de valeur moyenne raisonnable pour l'interpolation de fonction de probabilites en general.
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